Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C, parallèle à la droite d Soit $C$ une courbe d'équation $f(x)=\frac43x^3+2x²+3x+7$ et d une droite d'équation $y-2x+3=0$. **Translation** **Title** Determine the equation of the tangent to the curve $C$ which is parallel to the line $d$ Let $C$ be the curve of equation $f(x)=\frac43x^3+2x^2+3x+7$ and $d$ the line of equation $y-2x+3=0$.

The equation of tangent to the curve $C$ on the point $(x_0,f(x_0))$ is

$$y=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)\tag1$$ and the tangent is parallel to the line $d$ iff

$$f'(x_0)=4x_0^2+4x_0+3=2\iff(2x_0+1)^2=0\iff x_0=-\frac12$$ now replace $x_0$ by its value in $(1)$ and we are done.

**Traduction**

L'équation de la tangente à la courbe $C$ en le point $(x_0,f(x_0))$ est

$$y=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)\tag1$$ et cette tangente est parallèle à la droie $d$ ssi

$$f'(x_0)=4x_0^2+4x_0+3=2\iff(2x_0+1)^2=0\iff x_0=-\frac12$$ maintenant remplace $x_0$ par sa valeur trouvée en $(1)$ et on a terminé.